۱- در شکل‌های زیر، دو مثلث داخل هر کادر با یکدیگر هم‌نهشت‌اند. اندازه‌ی پاره‌خط‌ها و زاویه‌های مجهول را روی شکل مشخص کنید:
پاسخ تشریحی:
برای حل این مسئله از این اصل استفاده می‌کنیم که در مثلث‌های هم‌نهشت، اجزای متناظر (ضلع‌ها و زاویه‌ها) با یکدیگر برابر هستند.
---
**کادر سمت چپ (مثلث‌های صورتی و سبز)**
۱. **تحلیل مثلث صورتی:** این مثلث دارای زوایای $۴۵^\circ$ و $۷۵^\circ$ است. مجموع زوایای مثلث $۱۸۰^\circ$ است، پس زاویه‌ی سوم آن برابر است با:
$۱۸۰^\circ - (۴۵^\circ + ۷۵^\circ) = ۱۸۰^\circ - ۱۲۰^\circ = ۶۰^\circ$
بنابراین، زوایای مثلث صورتی $۴۵^\circ, ۶۰^\circ, ۷۵^\circ$ و اضلاع آن $۴$ و $۴\sqrt{۳}-۴$ هستند.
۲. **یافتن مقادیر مجهول در مثلث سبز:**
با توجه به علامت‌گذاری کمان‌ها، زوایای متناظر دو مثلث مشخص می‌شوند:
* زاویه‌ی با یک کمان در مثلث سبز متناظر با زاویه‌ی $۴۵^\circ$ است، پس اندازه‌ی آن **$۴۵^\circ$** است.
* زاویه‌ی با دو کمان در مثلث سبز متناظر با زاویه‌ی $۶۰^\circ$ است (که مقدار آن نیز داده شده).
* زاویه‌ی بدون کمان در مثلث سبز متناظر با زاویه‌ی $۷۵^\circ$ است، پس اندازه‌ی آن **$۷۵^\circ$** است.
حالا اضلاع متناظر را پیدا می‌کنیم:
* در مثلث صورتی، ضلع مقابل زاویه‌ی $۷۵^\circ$ برابر ۴ است. پس ضلع متناظر در مثلث سبز (مقابل زاویه‌ی $۷۵^\circ$) برابر **۴** است.
* در مثلث صورتی، ضلع مقابل زاویه‌ی $۴۵^\circ$ برابر $۴\sqrt{۳}-۴$ است. پس ضلع متناظر در مثلث سبز (مقابل زاویه‌ی $۴۵^\circ$) برابر **$۴\sqrt{۳}-۴$** است.
---
**کادر سمت راست (مثلث‌های نارنجی و آبی)**
۱. **تحلیل مثلث نارنجی:** این مثلث دارای دو زاویه‌ی $۴۰^\circ$ است، پس متساوی‌الساقین است. زاویه‌ی سوم آن برابر است با:
$۱۸۰^\circ - (۴۰^\circ + ۴۰^\circ) = ۱۰۰^\circ$
چون مثلث متساوی‌الساقین است، اضلاع مقابل زوایای برابر نیز با هم برابرند. ضلع مقابل یکی از زوایای $۴۰^\circ$ برابر ۳ است، پس ضلع دیگر مقابل زاویه‌ی $۴۰^\circ$ نیز **۳** است.
۲. **یافتن مقادیر مجهول در مثلث آبی:**
* **زوایا:** زوایای مثلث آبی نیز باید $۴۰^\circ, ۴۰^\circ, ۱۰۰^\circ$ باشند. با توجه به علامت‌گذاری کمان، زاویه‌ی مجهولی که یک کمان دارد **$۴۰^\circ$** و زاویه‌ی دیگر که کمان ندارد **$۱۰۰^\circ$** است.
* **اضلاع:** در مثلث نارنجی، هر دو ضلع مقابل زوایای $۴۰^\circ$ برابر ۳ هستند. در مثلث آبی، ضلع مجهول نیز مقابل یک زاویه‌ی $۴۰^\circ$ قرار دارد، پس اندازه‌ی آن برابر **۳** است.
۲- در شکل زیر چهار مثلث رسم شده که دو به دو با یکدیگر هم‌نهشت‌اند. ابتدا مثلث‌های هم‌نهشت را مشخص کنید و سپس اندازه‌های مجهول را که با «؟» مشخص شده، تعیین نمایید (زاویه‌هایی که با یک حرف مشخص شده با هم مساوی است).
پاسخ تشریحی:
**تحلیل مسئله:**
این مسئله دارای **اشکالات و تناقضات در اطلاعات داده شده** است که حل آن را با مفروضات فعلی غیرممکن می‌سازد. برای یادگیری، این تناقضات را بررسی می‌کنیم.
صورت مسئله می‌گوید مثلث‌ها دو به دو هم‌نهشت هستند. ما سعی می‌کنیم زوج‌های هم‌نهشت را پیدا کنیم.
**بررسی هم‌نهشتی مثلث بنفش و مثلث آبی:**
* **اطلاعات مشترک:** هر دو مثلث دارای ضلع ۸، ضلع ۱۳، زاویه‌ی 'b' و زاویه‌ی $۶۰^\circ$ هستند.
* **فرضیه برای هم‌نهشتی:** فرض کنیم این دو مثلث بر اساس حالت **«دو ضلع و زاویه‌ی بین» (ض‌زض)** هم‌نهشت باشند. در هر دو مثلث، زاویه‌ی 'b' بین اضلاع ۸ و ۱۳ قرار گرفته است. پس این فرضیه از نظر ساختاری درست است و $ \triangle \text{بنفش} \cong \triangle \text{آبی} $.
**بررسی نتایج هم‌نهشتی و کشف تناقض:**
اگر این دو مثلث هم‌نهشت باشند، باید تمام اجزای متناظر آنها برابر باشد:
۱. **ضلع سوم:** ضلع سوم مثلث بنفش ۱۵ است. پس ضلع مجهول ('?') در مثلث آبی نیز باید **۱۵** باشد.
۲. **زوایای متناظر:** زاویه‌ی مقابل هر ضلع باید در دو مثلث برابر باشد.
* در مثلث بنفش، زاویه‌ی مقابل ضلع ۸، زاویه‌ی $۶۰^\circ$ است.
* در مثلث آبی، زاویه‌ی مقابل ضلع ۸، زاویه‌ی مجهول ('؟') است.
* بنابراین، زاویه‌ی مجهول در مثلث آبی باید **$۶۰^\circ$** باشد.
* **اینجا تناقض اصلی رخ می‌دهد:**
* در مثلث بنفش، زاویه‌ی مقابل ضلع ۱۳، زاویه‌ی 'b' است.
* در مثلث آبی، زاویه‌ی مقابل ضلع ۱۳، زاویه‌ی $۶۰^\circ$ است.
از این هم‌نهشتی نتیجه می‌شود که باید $ b = ۶۰^\circ $ باشد. اما از طرف دیگر، در مثلث آبی زاویه‌ی مقابل ضلع ۸ نیز باید $۶۰^\circ$ باشد. این یعنی مثلث آبی باید متساوی‌الساقین با اضلاع ۸ و ۱۳ برابر باشد که این خود یک تناقض است ($۸ \neq ۱۳$).
**نتیجه‌گیری:**
به دلیل وجود اطلاعات متناقض در شکل‌ها (مثلاً زاویه‌ی مقابل یک ضلع در یک مثلث با زاویه‌ی مقابل همان ضلع در مثلث دیگر مطابقت ندارد)، **امکان تعیین قطعی زوج‌های هم‌نهشت و مقادیر مجهول وجود ندارد.** این سوال در کتاب درسی دارای اشکال طراحی است.
